在直角坐标系中，⊙O 1 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B．

（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG=
12
5 ．
设OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=
3
5 ．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S _△AOB′
∴3k×4k=5×
12
5 ，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O ₁ 的直径．
∵AC切⊙O ₁ 于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=
AB
BC =
4
5 ，
∴BC=
25
4 ．
∴OC=BC-OB=
9
4 ．
∴C（0，-
9
4 ）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则

3k+b=0
b=-
9
4
∴ k=
3
4 ，b=-
9
4 ．
∴直线AC的解析式为y=
3
4 x-
9
4 ．

（2）结论：d+AB的值不会发生变化，
设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=
d
2 ．
∴BQ=BT=OB-
d
2 ，AP=AT=OA-
d
2 ．
∴AB=BT+AT=OB-
d
2 +OA-
d
2 =OA+OB-d．
则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2
2 ，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=
O M 2 +M N 2 =
2 ×OM=
2 ×2
2 =4．
∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．

1年前