若X^5+2*X^3+1=a0+a1*(X-1)+a2*(X-1)^2+...+a5(X-1)^5对任意实数X都成立,则

(X-1)^n=∑C(n,i)x^i*(-1)^(n-i)
所以右边
x^5的项为a5*C(5,5)x^5*(-1)^(5-5)=a5*x^5,系数为a5,a5=1;
x^4的项为a5*C(5,4)x^4*(-1)^(5-4)+a4*C(4,4)x^4*(-1)^(4-4)
=a5*5*x^4*(-1)+a4*1*x^4*1
=(-5a5+a4)x^4,
系数为-5a5+a4=0,a4=5a5=5;
x^3的项为a5*C(5,3)x^3*(-1)^(5-3)+a4*C(4,3)x^3*(-1)^(4-3)+a3*C(3,3)x^3*(-1)^(3-3)
=a5*C(5,3)x^3-a4*C(4,3)x^3+a3*x^3
=[10a5-4a4+a3]x^3
=[-10+a3]x^3,系数为-10+a3=2,
a3=12 .

显然a5=1, a4=0
所以:a5(x-1)^5+a4(x-1)^4+a3(x-1)^3
=(x-1)^5+a^3(x-1)^3
这其中的x^3的系数=a3+C(5,3)=a^3+10
所以:a3+10=2
a3=-8

对左边x^5的系数是1，x^3系数是2,x^4系数是0
所以对右边来说，x^5系数是a5，所以a5=1
根据杨辉三角，对（x-1）^5, x^4 的系数是-5，x3系数是10
然后对a4（x-1）^4, x^4 的系数是a4，x3系数是 -6a4
对a3（x-1）^3, x^3 的系数是a3
所以有 -5+a4=0； 10-6a4+a3=0
可以算出...

你先将x取值为1，那么等式左右两边就变为：1+2+1=a0+0+0+0+0+0，所以a0=4，你再将x取值为0，那么等式又变成：0+0+1=a0-a1+a2-a3+a4-a5，即：1=4-a1+a2-a3+a4-a5，那么a1-a2+a3-a4+a5=3，列为式子（1），你再将x取值为2，那么等式就变成：32+16+1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即：49=4+a1+a2+a3+a4+a5...