抛物线参数方程 在线等f(x)=(x+1)^2若曲线y=f(x+t)上有两点关于直线y=x对称,求t的取值范围...要求

因为f(x)=(x+1)²
故：y=f(x+t) =(x+t+1)²
设(a,b)是曲线y=f(x+t)上关于直线y=x对称的两点的一点,a≠b
则：(a,b) 关于直线y=x的对称点(b,a)也在曲线y=f(x+t)上
故：b=(a+t+1)²,a=(b+t+1)²
两式相减的：b-a=(a+t+1)²- (b+t+1)²=(a-b)(a+b+2t+2)
故：(a-b)(a+b+2t+3)=0
故：a+b+2t+3=0
故：a=-b-2t-3代入b=(a+t+1)²
故：b=(-b-2t-3+t+1)²
故：b²+(2t+3)b+(t+2)²=0
故：△=(2t+3) ²-4(t+2)²＞0（不能=0）
故：t≤-7/4
当t=-7/4时,x=y=1/4,两点重合,均在直线y=x上,舍去
故：t＜-7/4
利用参数方程解答:
设x=p-t-1,则y=p²
故：(p²,p-t-1)也在曲线y=f(x+t)上(注意p²≠p-t-1,即p²-p+t+1≠0)
故：p-t-1=(p²+t+1)²
故：(p²+t+1)²+ (p²+t+1)-p²-p=0
故：（p²+t+1+p+1）（p²+t+1-p）=0
故：p²+p+t+2=0
故：△=1-4（t+2）≥0
故：t≤-7/4
当t=-7/4时,p=-1/2,故：x=y=1/4,两点重合,均在直线y=x上,舍去
故：t＜-7/4

答：

由题中条件可知y=(x + t + 1)²，设t+1=T，则y=(x + t)²

设有一个对称点坐标是(X,Y)，则另一个点的坐标是(Y,X)，两个点都满足方程，所以：

Y = (X + T)²--①

X = (Y + T)²--②

①-②：

Y - X = -(Y - X)*(Y + X + 2T)

∵X≠Y

∴

Y + X + 2T = -1

Y = -X - 2T - 1--③

代入①：

-X - 2T -1 = (X + T)²

-X - 2T -1 = X² + 2TX + T²

X² + (2T +1)X + (T + 1)² = 0

△=(2T + 1)² - 4(T + 1)² >= 0

-4T -3 >= 0

T <= -3/4

t+1 <= -3/4

t <= -7/4

t=-7/4时，T=-3/4,△=0，X=-(2T+1/2)=1/4,Y=1/4，这点在对称轴上，故舍去。

t < -7/4

参数方程解法：

有题中条件可知y=(x + t + 1)²，设x + t +1=T，则:

x = T - t - 1

y = T²

x，y是关于T的参数方程。

设有一个对称点坐标是(X,Y)对应T=T1，另一个点的坐标是(Y,X)对应T=T2，则：

X = T1 - t -1--①

Y = T1²--②

Y = T2 - t -1--③

X = T2²--④

①-③：

X-Y = T1- T2--⑤

②-④：

Y-X = T1² - T2² --⑥

⑥÷⑤：

T1 + T2 = -1

T2 = -1 -T1--⑦

①-④,结合⑦：

T1 - t - 1 -T2² = 0

T1 - t - 1 - (-1-T1)² = 0

T1 - t - 1 = (T1 + 1)²

T1² + T1 + (t + 2) = 0

△= 1² - 4(t + 2) >= 0

-4t -7 >= 0

t <= -7/4

t = -7/4，△=0，T1=-/2,T2=-1/2 ==>X=1/4,Y=1/4 这点在对称轴上，舍去。

t < 7/4

--完--

y=f(x+t)=(x+t+1)^2
设y=f(x+t)上两点M（m,(m+t+1)^2）,N（n,(n+t+1)^2）关于y=x对称
则有((n+t+1)^2-(m+t+1)^2)/(n-m)=-1且
(m-(m+t+1)^2)/根号2=-(n-(n+t+1)^2)/根号2 （m<>n）
可得n+m+2t+2=-1即m=-2t-3-n,带入上式得
（n...