C表示复数域,V={ (a+bi ,c+di) a,b,c,d∈R,i^2=-1 } 那么V作为复数域C上的向量空间的话

要证明V的维数为2,只要做到两点,
（1）在V中找出两个线性无关的向量e1,e2
（2）证明V中的任何向量都能被e1,e2线性表出
下面我们来证明
（1）取e1=(1+0i,0+0i)=(1,0) ,e2=(0+0i,1+0i)=(0,1) 则 e1,e2属于V,下证e1,e2线性无关：
如果 c1×e1+c2×e2=0,[注意其中c1,c2是复数,0是0向量(0+0i,0+0i)]
即 c1(1,0)+c2(0,1)=(0,0)
于是 (c1,c2)=(0,0)
由此得 c1=c2=0,这就是说向量e1,e2线性无关.
（2）对V中任意向量(z1,z2),其中 z1,z2为复数
由于 (z1,z2)=z1(1,0)+z2(0,1)=z1*e1+z2*e2
这也就是说 (z1,z2)能被e1,e2线性表出.
综上两条,V的维数为2
注意在复数域上,线性相关,线性无关,线性表出等概念中的常数,都是复数.开始接触可能不习惯,多做几个题目就适应了.

2
首先它是二阶向量，所以最高为2
其次它包含了二阶向量的全体，所以肯定也是2
这没有什么算的，你这个向量空间是个完整的空间，肯定是满秩，需要计算秩的，往往是一个满秩空间的子空间，这种满秩空间，根据定义它就是2，没有啥计算过程
如果一定要过程，随便找到两个线性无关向量即可，如(1,0)和(0,1)...