（2014•绍兴一模）已知a为不等于0的实数，函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0．
（2014•绍兴一模）已知a为不等于0的实数，函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：-2＜x0＜-1；
（ⅱ）设g（x）=[a/x+1]，若x1∈（-∞，0），x2∈[0，+∞），记|f（x1）-g（x2）|的最大值为M，求M的取值范围．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：-2＜x0＜-1；
（ⅱ）设g（x）=[a/x+1]，若x1∈（-∞，0），x2∈[0，+∞），记|f（x1）-g（x2）|的最大值为M，求M的取值范围．
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解题思路：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0，可得f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）令f'（x）=0，求出x0，即可证明；
（ⅱ）M=f（x0）-g（0）=f（x0）-a，进而可得M=f（x0）-a=−
•ex0+
，求导，确定单调性，即可得出结论．
（Ⅱ）（ⅰ）令f'（x）=0，求出x0，即可证明；
（ⅱ）M=f（x0）-g（0）=f（x0）-a，进而可得M=f（x0）-a=−
| x02 |
| x0+1 |
| x02+2x0 |
| x0+1 |
（Ⅰ）∵f（x）=（x2+ax）ex
∴f'（x）=[x2+（a+2）x-2a]ex，
∵函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0．
∴f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：令f'（x）=0，则
a＜0时，x0=
−(a+2)−
a2+4
2=-1-
2
a2+4−a，
∵a＜0，∴0＜
2
a2+4−a＜1
∴-2＜-1-
2
a2+4−a＜-1
∴-2＜x0＜-1；
（ⅱ）a＜0时，函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0．
f（x）=（x2+ax）ex＞0在（-∞，0）上恒成立，故f（x1）∈（0，f（x0）]，
且g（x）=[a/x+1]在[0，+∞）上单调递增，故g（x2）∈[g（0），0），
∴M=f（x0）-g（0）=f（x0）-a．
由f'（x0）=0，可得a=-
x02+2x0
x0+1，
∴f（x0）=−
x02
x0+1•ex0，
∴M=f（x0）-a=−
x02
x
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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