已知函数f（x）是定义在N*的函数，且满足f（f（k））=3k，f（1）=2，设an＝f(3n−1)，b1=1，bn-l

解题思路：（I）依题意．可求得f（a_n）=3ⁿ，从而可得log₃f（a_n）=n，继而由b_n-log₃f（a_n）=b₁-log₃f（a₁）可得b_n的表达式；
（II）令S_n=

b1

f(a1)

+

b2

f(a2)

+…+

bn

f(an)

，由（I）可知，S_n=[1/3]+

2

32

+…+

n

3n

，利用错位相减法即可求得S_n，从而可证结论．

（I）∵a_n=f（3^n-1），
∴f（a_n）=f（f（3^n-1））=3•3^n-1=3ⁿ．
∴log₃f（a_n）=n，
同理，log₃f（a₁）=1，…（3分）
由b_n-log₃f（a_n）=b₁-log₃f（a₁）及b₁=1得b_n=n …（6分）
（II）证明：设S_n=
b1
f(a1)+
b2
f(a2) +…+
bn
f(an)，
即S_n=[1/3]+[2
32+…+
n
3n…①
则
1/3]S_n=[1
32+
2
33+…+
n−1
3n+
n
3n+1…②…（9分）
①-②得
2/3]S_n=[1/3]+[1
32+
1
33+…+
1
3n-
n
3n+1
=

1/3(1−
1
3n)
1−
1
3]-

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查错位相减法的应用，考查数列与不等式的综合应用，属于难题．