设f（x）=ax 2 +bx+1，（a，b为常数）．若 f( 1 2 )=0 ，且f（x）的最小值为0，

（1）∵f（x）=ax ² +bx+1， f(
1
2 )=0 ，f（x）的最小值为0，
∴


a
4 +
b
2 +1=0

4a- b 2
4a =0 ，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x ² -4x+1．
∴ g(x)=
f(x)+k-1
x =
4 x 2 -4x+1
x
=4x+
k
x -4≥2
4x•
k
x -4=4
k -4，
当且仅当4x=
k
x ，即x=

k
2 时，g（x）取最小值4
k -4．
∵ g(x)=
f(x)+k-1
x 在[1，2]上是单调函数，
∴

k
2 ≤1 ，或

k
2 ≥2 ，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵ g(x)=
f(x)+k-1
x ，对任意x∈[1，2]，存在x ₀ ∈[-2，2]，使g（x）＜f（x ₀ ）成立．
当x ₀ ∈[-2，2]时，f（x ₀ ）=4x ₀ ² -4x ₀ +1在x ₀ =-2时取最大值f（x ₀ ） _max =f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴ g(x)=
f(x)+k-1
x =4x+
k
x -4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x ² -29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．