已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(12)

解题思路：（Ⅰ）由“f（x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数”，则有f'（0）=f'（1）=0，再由
f′(

1

2

)＝

3

2

．求解．
（Ⅱ）首先将“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”转化为“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即

c＝0
3a+2b+c＝0
解得

c＝0
b＝−
3
2a
∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴f′(
1
2)＝
3a
4−
3a
2＝
3
2，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤
1
2或x≥1．
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤
1
2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查利用函数的极值点和导数值来求函数解析式及不等式恒成立问题．