一道高二数学题已知f(x)=x+m/x(m属于R),若函数y=log1/2[f(x)+2]在区间[1,正无穷)上是减函数

一道高二数学题
已知f(x)=x+m/x(m属于R),若函数y=log1/2[f(x)+2]在区间[1,正无穷)上是减函数,求实数m的取值范围.那个1/2是底数.用导数解.请写清过程,并回答是否还需要考虑f(x)+2恒大于0的问题?

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则f(x)＋2在区间[1,∞)上为正且递减,设g(x)=x＋m/x＋2.
1、x＋m/x＋2>0,m/x>－x－2,由于x>0,则m>－x²－2x恒成立,只需m大于－x²－2x在已给区间上的最大值－3(当x=1时取得),所以m>－3；
2、还需要g(x)在已给区间上递增.g'(x)=1－m/x²≥0在已知区间上恒成立,则m≤x²,从而m≤1.
综合下,有－3

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