yikob
幼苗
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在0点展开,1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+...+x^n+...
级数的收敛半径an/an+1 = 1
可以在（-1,1）展开成上面的级数.在这范围以外,上面级数是发散的,
但如果不在x=0展开,如在x=-2,收敛半径就是 - 2到1的距离,即3,可以在（-5,1）展开成另一个级数,
1/5[ 1 + (x+4)/5 + (x+4)^2/5^2 + . + (x+4)^n/5^n . ]
主要是看你在哪个点展开,不过多数在x=0
学了复变函数的洛朗级数,你对级数的理解估计会更深
1年前
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yikob
在哪里展开要看你需要研究的区域，比如这个函数的奇点是x=1，收敛半径是展开点到 x=1 的距离，选择在何处展开时，你要保证你关心的区域全部在收敛区域内。当然，x=0是最简单的，如果在0点已经满足了需要，那就没必要展开成一个比较复杂的级数了
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ly820105
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我就想是不是每个函数都可以写成多项式相加的无穷级数这个问题，但是发现有些函数只能在一些区间里面写成无穷级数，那假如想在函数的整个定义域上都写成无穷级数，那应该怎么操作呢？然后就看到了在某个点上展开，我觉得函数在整个定义域上要是都能写成无穷级数，那要在某个点上展开干什么呢？麻烦您了。
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yikob
并不是所有函数都能在整个定义域内展开成幂级数的，有些函数在实轴上有奇点，就会有一个收敛半径。如y=e^x，在R上有定义，他的收敛半径是R，在整个实轴上可以写成无穷级数。但1/(1-x)，他在x=1无定义，是奇点，有收敛半径，只有在展开点为中心，到展开点距离小于收敛半径的点才呢用无穷级数表示。 如果有多个奇点，收敛半径是展开点到最近奇点的距离
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ly820105
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太谢谢您了，那如果我遇到一个函数，我把他的奇点挑出来，那么我就能用幂级数来表示其余的间断的函数了？就是我可以一个分段的无穷级数来完整刻画这个函数？
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yikob
不是。比如 1/(1-x) ，你在x=无穷就不能展成幂级数。因为你的展开点到x=1的距离总是有限的。总有一个收敛半径。 但学了复变函数的洛朗级数你会知道，如果展式中包含x的负无穷次幂到正无穷次幂，则 x=正负无穷 也是可以用级数表示的。但好像不是叫泰勒级数了，泰勒级数只是包含x的0次幂到正无穷次幂。至于洛朗级数是不是幂级数，忘了。
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ly820105
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假如不考虑正负无穷这两个极端的例子，就是在坐标轴上，能不能用分段幂级数来刻画函数呢？从奇点出断开。变复函数还没接触过呢。。您能不能加下我QQ：165281435？谢谢啦？
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