x2 |
4 |
y2 |
2 |
y2 |
2 |
alissa_liu 幼苗
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x1+x2 |
2 |
①由题意可知点(2,4)在抛物线y2=8x上
故过点(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
i)过点(2,4)且与抛物线y2=8x相切;ii)过点(2,4)且平行与对称轴.①故正确;
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,
若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.
故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1)
代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5,
∴
2(k2+2)
k2=5,k2=[4/3],则这样的直线有且仅有两条,故②正确;
③由题意可得:双曲线x2-y2=3的渐近线方程为:y=±[1/2]x,
所以点(3,1)不是双曲线渐近线上的一点,
所以过点 (3,1)且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条,其中两条是过点 (3,1)并且与双曲线相切的直线,另两条过点 (3,1)且平行于渐近线x+y=0的直线.故③错;
④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
当直线与实轴垂直时,
有3-
y2
2=1,∴y=2,
∴直线AB的长度是4,
综上可知有三条直线满足|AB|=4,故④正确;
⑤设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
(1)当k存在时有
y=k(x−1)+1
x2−
1
2y2=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,
∴k<[3/2]设P(x1,y1),Q(x2,y2)
∴x1+x2=
2(k−k2)
2−k2又B(1,1)为线段AB的中点
∴
x1+x2
2=1 即
2(k−k2)
2−k2=1,∴k=2
当k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.
(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在.故⑤错.
故答案为:①②④.
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用;抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
考点点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了数形结合在实际问题中的应用.解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况,以免遗漏.
1年前
1年前1个回答
1年前2个回答
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