（2003•东城区二模）函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x

（2003•东城区二模）函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

yellow001 1年前已收到1个回答举报

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解题思路：（1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x₂-x₁）＞1，再对f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1变形得到结论．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再将f（3m²-m-2）＜3转化为f（3m²-m-2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．

（1）证明：任取x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＞1．∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），∴f（x）是R上的增函数．（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3．∴f（3m2-m-2）＜3=f（2...

点评：
本题考点：函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，属于中档题．

1年前

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