已知椭圆C 1 : + =1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C 1 的焦点且垂直长轴的弦长为1.
| 已知椭圆C 1 :  + =1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C 1 的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1 的方程; (2)设点P在抛物线C 2 :y=x 2 +h(h∈R)上,C 2 在点P处的切线与C 1 交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. |
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（1）
+x 2 =1（2）1
解:(1)由题意,得
从而
因此,所求的椭圆方程为 +x 2 =1.
(2)设M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ),
P(t,t 2 +h),
则抛物线C 2 在点P处的切线斜率为
y′| x=t =2t,
直线MN的方程为:
y=2tx-t 2 +h.
将上式代入椭圆C 1 的方程中,
得4x 2 +(2tx-t 2 +h) 2 -4=0,
即4(1+t 2 )x 2 -4t(t 2 -h)x+(t 2 -h) 2 -4=0.①
因为直线MN与椭圆C 1 有两个不同的交点,
所以①式中的
Δ 1 =16[-t 4 +2(h+2)t 2 -h 2 +4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x 3 ,
则x 3 =
=
.
设线段PA的中点的横坐标是x 4 ,
则x 4 =
.
由题意,得x 3 =x 4 ,
即t 2 +(1+h)t+1=0.③
由③式中的
Δ 2 =(1+h) 2 -4≥0,
得h≥1或h≤-3.
当h≤-3时,h+2<0,4-h 2 <0,
则不等式②不成立,
所以h≥1.
当h=1时,代入方程③得t=-1,
将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.
所以h的最小值为1.
+x 2 =1（2）1 解:(1)由题意,得
从而
因此,所求的椭圆方程为
+x 2 =1.(2)设M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ),
P(t,t 2 +h),
则抛物线C 2 在点P处的切线斜率为
y′| x=t =2t,
直线MN的方程为:
y=2tx-t 2 +h.
将上式代入椭圆C 1 的方程中,
得4x 2 +(2tx-t 2 +h) 2 -4=0,
即4(1+t 2 )x 2 -4t(t 2 -h)x+(t 2 -h) 2 -4=0.①
因为直线MN与椭圆C 1 有两个不同的交点,
所以①式中的
Δ 1 =16[-t 4 +2(h+2)t 2 -h 2 +4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x 3 ,
则x 3 =
=
.设线段PA的中点的横坐标是x 4 ,
则x 4 =
.由题意,得x 3 =x 4 ,
即t 2 +(1+h)t+1=0.③
由③式中的
Δ 2 =(1+h) 2 -4≥0,
得h≥1或h≤-3.
当h≤-3时,h+2<0,4-h 2 <0,
则不等式②不成立,
所以h≥1.
当h=1时,代入方程③得t=-1,
将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.
所以h的最小值为1.
1年前
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