（2014•郴州二模）设函数f（x）=x-1-[lnx/x]．

（Ⅰ）∵N′（x）=2x+[1/x]＞0，
∴N（x）在（0，+∞）上单调递增；
那么N（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，
由N（1）=1-1+0=0，则N（x）在（0，+∞）上唯一零点为x=1．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=1-[1−lnx
x2=
N(x)
x2，
则①当0＜x＜1时，N（x）＜0，则f′（x）＜0，
②当x＞1时，N（x）＞0，则f′（x）＞0，
则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
则f（x）_min=f（1）=0．
（Ⅲ）由f（x）=x-1-
lnx/x]≥0可得，
x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
则k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
则[1/lnk＞
1
k2−k]=[1
k(k−1)=
1/k−1−
1
k]
则[1/ln2]+[1/ln3]+[1/ln4]+…[1/lnn]＞[1/1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−1−
1
n]=1-[1/n]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题综合性很强，考查了导数的综合应用，零点个数的判定，不等式的证明及裂项求和的方法，属于难题．

1年前

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