四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A. [27/2]π
B. [9/2]π
C. [15/2]π
D. 15π
A. [27/2]π
B. [9/2]π
C. [15/2]π
D. 15π
赞 Rchris 幼苗
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解题思路：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
底面积不变，高最大时体积最大，所以，面BCD与面ABD垂直时体积最大，
由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径
R=
(
3
2)2+(
2 ×
1
3×
3
2×3) 2=
15
2；
经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=4π(
15
2)2=15π；
故选D．
点评：
本题考点： 球内接多面体．
考点点评： 本题是基础题，考查三棱锥的体积的求法，确定三棱锥体积的最大值以及外接球的球心的位置，是本题解题的关键，考查计算能力．
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