问题背景 在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB

解题思路：（1）作辅助线“在DC上截取DM=BD，连接AM”构建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的对应角相等以及等腰三角形的性质证得∠B=∠AMB；再由已知条件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根据等量代换求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）假设结论AB+BD=AC．方法一：如图a在AC上截取AM=AB，连接DM．先证△ABD≌△AMD，可得∠B=∠AMD．再证DM=MC，则MC=BD；
方法二：如图b延长AB到M，使BM=BD，连接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再证△AMD≌△ACD．

（1）在DC上截取DM=BD，连接AM．
在△ABD与△AMD中，

AD＝AD
∠ADB＝∠ADM＝90°
DM＝BD，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
则AB+BD=DC；
（2）AB+BD=AC．
方法一：如图a，在AC上截取AM=AB，连接DM．
在△ABD和△AMD中，

AB＝AM
∠BAD＝∠MAD(角平分线的性质)
AD＝AD(公共边)，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知），∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理），
∴∠C=∠MDC（等量代换），
∴DM=MC，则MC=BD，
则AB+BD=AC．

方法二：如图b，延长AB到M，使BM=BD，连接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵∠BAD=∠CAD（角平分线的性质），
AD=AD（公共边）
∴△AMD≌△ACD．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答该题的关键是通过作辅助线构建全等三角形来证明结论的．