已知函数f（x）在R上有定义,且满足f（x）＋xf（1－x）＝x. ①求f（x）解析式 ②求值域

账多不愁1 1年前 已收到3个回答 举报
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123凡人生活 幼苗

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（1）由f（x）＋xf（1－x）＝x,用1-x换x,得
f（1-x）＋(1-x)f（x）＝1-x
联立,代入得f（x）＝x2/x2-x+1(x2是x方）
（2）解析式分子分母同除以x2,再把分母配方,易得值域为[0,4/3]

1年前

3

shanhai79 幼苗

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f（x）在R上有定义，且满足f（x）＋xf（1－x）＝x ①
将x换成1-x等式仍成立
∴f(1-x)+(1-x)f(x)=1-x
∴f(1-x)=1-x-(1-x)f(x)代入①
∴f(x)+x[(1-x)-(1-x)f(x)]=x
∴f(x)-x(1-x)f(x)+x-x²=x
∴(x²-x+1)f(x)=x²

1年前

1

万世与一时 幼苗

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因为 f(x)+xf(1-x)=x， …………①
上式中把x用1-x替换，得：
f(1-x)+(1-x)*f(x)=1-x， …………②
上式两边同时乘以-x得：
-x*f(1-x)-x(1-x)*f(x)=x^2-x， …………③
①、③相加：(x^2-x+1)*f(x)=x^2，
...

1年前

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