已知函数f（x）=lnx2-[2ax/e]，（a∈R，e为自然对数的底数）．

解题思路：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，求出f′（x），分三种情况a=0，a＞0，a＜0，由f′（x）＞0得到函数的增区间；由f′（x）＜0得到函数的减区间即可；
（Ⅱ）把a=1代入到导函数中得到f′（x），则两条切线的斜率分别为

2(e−x1)

ex1

和

2(e−x2)

ex2

，又因为切线过p（0，t），所以写出两条切线的方程，化简得到x₁²=x₂²．因为x₁≠x₂所以得证．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=[2/x]-[2a/e]=
2(e−ax)
ex．
当a=0时，由f′（x）=[2/x]≥0，解得x＞0；
当a＞0时，由f′（x）=
2(e−ax)
ex＞0，解得0＜x＜[e/a]；
当a＜0时，由f′（x）=
2(e−ax)
ex＞0，解得x＞0，或x＜[e/a]．
所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，[e/a]）；
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞，[e/a]）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因为f′（x）=[2/x]-[2/e]=
2(e−x)
ex，
所以以p₁（x₁，f（x₁））为切点的切线的斜率为
2(e−x1)
ex1；
以p₂（x₂，f（x₂））为切点的切线的斜率为
2(e−x2)
ex2．
又因为切线过点p（0，t），
所以t−lnx12+
2x1
e＝
2(e−x1)
ex1(0−x1)；t−lnx22+
2x2
e＝
2(e−x2)
ex2(0−x2)．
解得，x₁²=e^t+2，x₂²=e^t+2．则x₁²=x₂²．
由已知x₁≠x₂
所以，x₁+x₂=0．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 考查学生会利用导数函数单调性，会利用导数曲线上某点的切线方程．

证明：设切线方程为y=t+kx, 则切点处成立f(x)=t+kx, f '(x)=k, 即 t+kx=2lnx-2x/e, 2/x-2/e=k, 联立可解得切点处x=exp(1+t/2), 且k=(exp(-t/2)-1) ∙2/e. ......

题目有问题，切点只有一个..........
f（x）=lnx²-（2x）/e 写成 f...