x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2+b2 |
2 |
3 |
台风松松 幼苗
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(Ⅰ)∵c=
2,短轴上的一个端点到F的距离为
3.
∴a=
3,∴b=1.∴椭圆方程为
x2
3+y2=1,
准圆的半径为
(
3)2+12=2,
∴准圆方程为x2+y2=4.
(Ⅱ)(1)因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,
所以由
y=kx+2
x2
3+y2=1消去y,得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以△=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.
所以l1,l2方程为y=x+2,y=-x+2.
则l1,l2与准圆的另一个交点分别为准圆与x轴的左右交点,|MN|=4.
(2)①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=±
3,
当l1方程为x=
3时,此时l1与准圆交于点(
3,1),(
3,−1),
此时经过点(
3,1)(或(
3,−1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;
同理可得l1方程为x=−
3时,直线l1,l2垂直.
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4.
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
则
y=tx+(y0−tx0)
x2
3+y2=1,消去y得,(1+3t2)x2+6t(y0−tx0)x+3(y0−tx0)2−3=0.
由△=0化简整理得:(3−x02)t2+2x0y0t+1−y02=0.
因为x02+y02=4,所以有(3−x02)t2+2x0y0t+(x02−3)=0.
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3−x02)t2+2x0y0t+(x02−3)=0,
所以t1•t2=-1,即l1,l2垂直.
综合①②知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直,
所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径,所以|MN|=4.
综(1)、(2),|MN|为定值4.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.
考点点评: 本题考查了椭圆的标准方程即简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,是新定义题,考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.第(Ⅱ)问学生不容易找到解题的方向.有些同学会忘记对斜率的讨论,对学生的方程思想要求比较高.属难题.
1年前
1年前1个回答
1年前2个回答
你能帮帮他们吗