将正方体ABCD-A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并涂好了过顶点A的3个面得颜色

解题思路：当5种颜色全都使用时，即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法，当只使用4种颜色时即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法，当只使用3种颜色时 只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种

由题意知本题是一个分类计数问题，
设6个面为1对4、2对5、3对6，五种颜色为a、b、c、d、e，且1涂a，2涂b，3涂c
当5种颜色全都使用时
即只有一组对面颜色相同，设1和4同色，5和6有2种涂法（de或ed）
又因为三个对面各不相同
∴一共有3×2=6种
当只使用4种颜色时
即有两组对面颜色相同，设1和4同色，2和5同色，6有2种涂法（d或e）
同（I）理
共有3×2=6种
当只使用3种颜色时
只能是1和4同色，2和5同色，3和6同色，即只有1种
综上共有13种方法
故答案为：13．

点评：
本题考点： 计数原理的应用．

考点点评： 本题考查分类计数原理，本题解题的关键是做到准确分类，这里结合正方体的特征，分类做到不重不漏．