（2014•上海模拟）已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．

解题思路：（I）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．
（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0，2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．

（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+[a/x]=
(2x−a)(x−1)
x…（2分）
①当a≤0，即[a/2≤0时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
②当0＜
a
2＜1，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜
a
2]或x＞1，
函数f（x）的单调递增区间为(0，
a
2)，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得[a/2＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为(
a
2，1)．
③当
a
2＝1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，
由于f(
1
e2)＝
1
e4−
2
e2−
a
e2+2＝(
1
e2−1)2−
a
e2+1＞0，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，
需满足f（1）=0或

f(1)＜0
f(2)＜0]解得a=-1或a＜-[2/ln2]．
②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；
且f(e−4)＝
1
e8−
4

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点．

考点点评： 此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．