若lnx≥(a−1)x2+a−3x2+1在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（-∞，[5/2]]（-∞，[5/2

解题思路：把lnx≥

(a−1)x2+a−3

x2+1

等价转化为lnx≥a-1-

1

x2+1

，得到lnx+

1

x2+1

≥a-1，从而原题等价转化为y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，由此利用导数知识能够求出a的取值范围．

∵lnx≥
(a−1)x2+a−3
x2+1=a-1-[1
x2+1，
∴lnx+
1
x2+1≥a-1，
∵lnx≥
(a−1)x2+a−3
x2+1在x∈[1，+∞）上恒成立，
∴y=x+
1
x2+1在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，
∵y′＝
1/x−
4x
(x2+1)2]，
令y′＝
1
x−
4x
(x2+1)2=0，得x=1，或x=-1（舍），
∴x∈[1，+∞）时，y′＝
1
x−
4x
(x2+1)2＞0，
∴y=x+[1
x2+1在x∈[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，y=x+
1
x2+1在x∈[1，+∞）上取最小值1+
1
12+1=
3/2]，
故[3/2≥a−1，
所以a≤
5
2]．
故答案为：（-∞，[5/2]]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是lnx≥(a−1)x2+a−3x2+1在x∈[1，+∞）上恒成立等价转化为y=x+1x2+1在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1．