一道线性代数证明题设a1,a2,.an是一组n维向量.证明：a1,a2,.an现行无关的充分必要条件是任一n维向量都可以
一道线性代数证明题
设a1,a2,.an是一组n维向量.证明：a1,a2,.an现行无关的充分必要条件是任一n维向量都可以由他们线性表出.
设a1,a2,.an是一组n维向量.证明：a1,a2,.an现行无关的充分必要条件是任一n维向量都可以由他们线性表出.
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必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b,(a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn)
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b,(a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn)
1年前 追问
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必要性: a1,a2,...an线性无关 => |a1,a2,...an| ≠ 0 => 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解 => 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示 充分性: 因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示 所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示 所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an). 所以 a1,a2,...an 线性无关.
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