如图，正方形AOBC的边长为4，反比例函数y＝kx经过正方形AOBC的中心D点，E为AO边上任一点，F为OB延长线上一点

解题思路：（1）正方形AOBC的边长为4，则正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2），把这点的坐标代入反比例函数y＝

k

x

的解析式，就可以求出函数解析式；
（2）连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以证出△EHG≌△FBG，得到EG=FG则CG⊥EF，CG=[1/2]EF；
（3）要让四边形OPNM为等腰梯形，必须有∠PNM=∠NPO=45°，则P点的横纵坐标相等，因而设P点的坐标为（x，x），代入y＝

4

x

，得到x的值，从而求出点P的坐标．

（1）∵正方形的中心是它的两对角线的交点，
又∵正方形AOBC的边长为4，
∴正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2）．
∵D点在反比例函数y＝
k
x的图象上，
∴k=2×2=4，
∴y＝
4
x；

（2）CG⊥EF，CG=[1/2]EF．（5分）
证明：连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，
∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
∴△CAE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=90°．
∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
∴△EHG≌△FBG，（7分）
∴EG=FG．
∴CG⊥EF，CG=[1/2]EF；


（3）过点M作ME⊥PN于E，
∴EM∥x轴，
设N坐标为（a，-a+2），
∴EM=-a，NE=-a+2-2=-a，
∴ME=NE，
∴∠PNM=45°，（9分）
∵四边形OPNM为等腰梯形，
∴∠PNM=∠NPO=45°．（10分）
∴设P点的坐标为（x，x），代入y＝
4
x，
∴x=±2．
∵P是y＝
k
x第三象限上一动点，
∴x=-2．
∴P点的坐标为（-2，-2）．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 本题考查了反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．