已知函数f（x）=lnx+ax=1，a∈R

（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=[1/x]+a，…3分
∴f′（1）=a+1，切点是（1，a+1），…5分
所以切线方程为y-（a+1）=（a+1）（x-1），即y=（a+1）x．…6分
（Ⅱ）解法一：∵x＞0，f′（x）=[1+ax/x]，
①当a≥0 时x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x），单调递增，
显然当x＞1 时，f（x）＞0，f（x）≤0不恒成立．…8分
②当a＜0 时，x∈（0，-[1/a]），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（-[1/a]，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，…10分
∴f（x）_max=f（x）_最大值=f（-[1/a]）=ln≤0（-[1/a]），∴a≤-1，
所以不等式f（x）≤0 恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]…14分
（Ⅱ）解法二：∵x＞0 所以不等式f（x）≤0 恒成立，等价于
ax≤=-lnx-1，即a≤[−lnx−1/x]令h（x）=[−lnx−1/x]，
则h′（x）=-[1−lnx
x2+
1
x2=
lnx
x2，当 x∈（0，1）时，
h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞） 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．…12分
∴h（x）_min=h（x）_最小值=h（1）=-1，∴a≤-1．
∴不等式f（x）≤0 恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]．…14分

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

1年前

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