满秩矩阵相乘的秩?要证明：当且仅当存在满秩矩阵X：m*p 和Y：n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.show th

利用结论,rank（T)=P,当且仅当存在可逆矩阵M,N使得
T=M*diag（Ip,0)*N
必要性：如果rank(A)=p,由结论存在可逆矩阵P,Q,使得
A=P*diag（Ip,0)*Q
把P分成两列P=(P1,P2),Q分成两行Q=(Q1,Q2),相乘即可得到A=P1*Q1
取X=P1,Y'=Q1即可.P1,Q1是可逆阵的列阵,都是列满枝的.
充分性：X：m*p 的秩是p,存在P1,Q1,使得
X=P1×(Ip,0)'*Q1,Y=P2×(Ip,0)'*Q2,
A=XY'=P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2'
P1,P2'可逆,所以
rank(A)=rank(P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2')=rank([[Q1Q2',0],[0,0]])=rank(Q1*Q2')=p
Ip是p阶单位阵.

m×n阶矩阵A的秩是p，当且仅当存在m×p阶满秩矩阵X和n×p阶满秩矩阵Y使得A=XY′。
证明(→)如果A的秩是p，设a1,a2,…,an是A的列向量，则在A的列向量中一定可以找到由p个向量ai1,ai2,…,aip组成它的最大线性无关组，这个向量组和A的列向量全体构成的向量组等价，即可以互相线性表出。记
Xk=aik,k=1,2,…,p
则矩阵X=(x1,x2,…,xp...