设曲线f（x）上任意一点（x,y）处的.

设曲线f（x）上任意一点（x,y）处的.
设曲线y=f（x）上任意一点（x,y）处的切线斜率为y/x +x^2,且该曲线经过点（1,1/2）
（1） 求函数y=f（x）
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qlqili 幼苗

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由已知可知dy/dx=y/x+x²
两边同时乘以xdx,得xdy=ydx+x³dx
xdy-ydx=x³dx
两边同时求积分,则有-xy=x四次方/4+C,C为常数,
将点（1,1/2）代入,求出C为-3/4,然后再将上边的式子两边同除以x,即得出
y=-x³/4+3/（4x）

1年前 追问

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可是答案是y=（x^3）/2额。 还有两边同时求积分的时候，xdy-ydx是怎么积分成-xy的？

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你这个答案也对，我的也没错啊，你验证一下，由于d（uv）=vdu+udv

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是啊，d（uv）=vdu+udv,所以xdy-ydx积分不等于-xy啊。反过来-xy求导也是-xdy-ydx呃。不太明白？

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哦，那我算错了，我再给你个解法：由于dy/dx=y/x+x² 设y/x=u，则有y=ux， 原式为xdu/dx+u=u+x² xdu/dx=x² du=xdx 两边积分有，u=x²/2+C，C为常数，将u=y/x代入，有y/x=x²/2+C 将点（1,1/2）代入，求出C为0，则有y/x=x²/2，因此y=x³/2即可
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