（2012•安徽模拟）已知椭圆C：x2a2+y2＝1(a＞0)的右顶点为A，上顶点为B，直线y=t与椭圆交于不同的两点E
（2012•安徽模拟）已知椭圆C：
+y2＝1(a＞0)的右顶点为A，上顶点为B，直线y=t与椭圆交于不同的两点E，F，若D（x，y）是以EF为直径的圆上的点，当t变化时，D点的纵坐标y的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，
)且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，是否存在k，使得向量
+
与
共线？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，
| 2 |
| OP |
| OQ |
| AB |
赞 xhxnyp 春芽
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解题思路：（1）由
，得x2=a2（1-t2），-1＜t＜1，故r＝
＝a
，圆心为（0，t），由此能求出椭圆C的方程．
（2）l：y＝kx+
，由
，得(1+3k2)x2+6
kx+3＝0，△＝72k2−12(1+3k2)＞0⇒|k|＞
，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点M(
，y0)．由此能够推导出不存在k，使得向量
+
与
共线．
|
| |EF| |
| 2 |
| 1−t2 |
（2）l：y＝kx+
| 2 |
|
| 2 |
| ||
| 3 |
| x | 0 |
| OP |
| OQ |
| AB |
（1）由
y＝t
x2+a2y2＝a2，得x2=a2（1-t2），-1＜t＜1，
∴r＝
|EF|
2＝a
1−t2，圆心为（0，t），
以EF为直径的圆的方程为：x2+（y-t）2=a2（1-t2）⇒y≤t+a
1−t2（当x=0时取等）
令t=cosθ（θ∈（0，π））⇒y≤cosθ+asinθ＝
a2+1sin(θ+ϕ)，
依题
a2+1＝2⇒a2＝3，
椭圆C的方程为：
x2
3+y2＝1．（6分）
（2）l：y＝kx+
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
1年前
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