正四面体的基本几何性质
正四面体是由四个全等的等边三角形面组成的正多面体，所有棱长均相等，记为a。它是一个高度对称的几何体。要深入理解其空间结构，关键需要掌握其高、体积以及内切球与外接球的半径公式。这些参数相互关联，共同描绘出正四面体的空间特征。从棱长a出发进行推导，是解决相关几何问题的基础。
高、体积与球半径的计算公式
首先，正四面体的高h是从一个顶点垂直下落至对面正三角形中心的距离。通过构建空间直角坐标系或利用几何关系，可以推导出其公式为 h = √6 / 3 * a。其体积V等于底面积乘以高的三分之一。正三角形的面积是 √3 / 4 * a²，因此正四面体的体积公式为 V = √2 / 12 * a³。
其次，正四面体的外接球半径R和内切球半径r是另一组核心参数。外接球球心与四个顶点等距，其半径 R = √6 / 4 * a。内切球球心与四个面等距，位于高的特定分点处，其半径 r = √6 / 12 * a。有趣的是，高h、内切球半径r与外接球半径R满足关系：h = r + R，且 R = 3r。这些简洁而优美的公式，完美体现了正四面体内部结构的和谐统一。