已知函数 f(x)= 1 2 a x 2 +2x ，g（x）=lnx．

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为 x=-
2
a ，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以 -
2
a ≤1 ，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程
g(x)
x =f′(x)-(2a+1) 整理为

lnx
x =ax+2-(2a+1) ，
即为方程ax ² +（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax ² +（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在区间（
1
e ，e ）内有且只有两个不相等的实数根，
即为函数H（x）在区间（
1
e ，e ）内有且只有两个零点
H′(x)=2ax+(1-2a)-
1
x =
2a x 2 +(1-2a)x-1
x =
(2ax+1)(x-1)
x
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或 x=-
1
2a （舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
1
e ，e ）内有且只有两个不相等的零点，
只需

H(
1
e )＞0
H(x ) min ＜0
H(e)＞0
即


a
e 2 +
1-2a
e +1=
(1-2a)e+a+ e 2
e 2 ＞0
H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0
a e 2 +(1-2a)e-1=( e 2 -2e)a+(e-1)＞0
∴

a＜
e 2 +e
2e-1
a＞1
a＞
1-e
e 2 -2e
解得 1＜a＜
e 2 +e
2e-1 ，
所以a的取值范围是（ 1，
e 2 +e
2e-1 ）．