如图（1）,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的AC边与x轴重合,且点A在原点,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=

(1)D(1,2),⊙D:(x - 1)² + (y - 2)² = 4开始时,A(0,0),C(-2,0)tan∠BAC= tan60° = √3 = BC/AC = BC/2,BC = 2√3B(-2,2√3)AB的斜率k = 2√3/(0 - 2) = -√3当斜边AB与⊙D相切时,AB的方程:y = -√3x + b,√3x + y - b = 0D与AB的距离等于圆半径2 = |√3 + 2 - b|/√4b = 6 + √3 (舍去b = √3 - 2 < 0; 开始时AB:√3x + y = 0在y轴上的截距 = 0)AB的方程:y = -√3x + 6 + √3y = 0,x = 2√3 + 1A(2√3 + 1,0)
(2)①在旋转前,A(2,0),B(0,2√3)AB的方程:x/2 + y/(2√3) = 1,y = √3(2 - x)设A'B'上与F重合的点在旋转前为F‘(a,√3(2 - x)) OF' = OF = 2a² - 3a + 2 = (a - 2)(a - 1) = 0a = 2 (点A,舍去)a = 1,F'(1,√3)tan∠FOF' = F'的横坐标/F'的纵坐标 = 1/√3∠FOF' = ∠AOA' = 30°
②OA'的斜率 = tan∠AOA' = tan30° = 1/√3OA'的方程:y = x/√3与AB的方程联立,M(3/2,√3/2)A'(OAcos30°,OAsin30°),即A'(√3,1)A'B'的斜率:(2 - 1)/(0 - √3)= -1/√3A'B'的方程:y = -x/√3 + 2与AB的方程联立,N(3 - √3.3 - √3)从N向轴做垂线(x = 3 - √3),垂线与OA'交于P(3 - √3,√3 - 1)该垂线将四边形分为左边的梯形OFNP和右边的三角形NPMS = S1 + S2= (1/2)(OF + PN)*N的横坐标 + (1/2)PN*PN上的高= (1/2)(OF + N的纵坐标 - P的纵坐标)*N的横坐标 + (1/2)(N的纵坐标 - P的纵坐标)*(M的横坐标-N的横坐标)= (1/2)(2 + 3 - √3 - √3 + 1)(3 - √3) + (1/2)(3 - √3 - √3 + 1)*(3/2 - 3 + √3)= (1/2)(6 - 2√3)(3 - √3) + (1/2)(4 - 2√3)(√3 - 3/2)= 6 - 5√3/2