一个直角三角形三边长abc都是整数,且满足a<b<c,a+c=49,问这个直角三角形面积是多少?

三角形ABC是直角三角形,则应满足勾股定理,a^2+b^2=c^2.(1),
a=49-c,两边平方,得：a^2=2401-98c+c^2.(2),
(1)式-(2)式,b^2=49*(2c-49),要使b为整数,2c-49必须是完全平方数,
2c-49=1,c=25,
2c-49=4,无整数解,
2c-49=9,c=29,
2c-49=16,无整数解,
2c-49=25,c=37,
2c-49=36,无整数解,
最大不超过49,此时c=0.
c=25,则b=7,a=24,
c=29,b=21,a=20,
c=37,a=12,b=35
解1：面积=24*7/2=84.
解2：面积=20*21/2=210.
解3：面积=12*35/2=210.

要求的这个三角形三边分别是9,40,41
面积 = 9*40/2 = 180
满足abc都是整数的直角三角形
3,4,5
5,12,13
7,24,25
9,40,41
……
可以发现一点规律，较长的直角边与斜边长的和，总是一个奇数的完全平方，而且这个奇数恰好等于较短的那条直角边长...

答案有两个:
1. 12、35、37；
2. 20、21、29。

12 35 57
20 21 29
210