在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于

解题思路：（1）由勾股定理求出AB的值，然后又三角形的面积公式建立等量关系求出EP的值，最后在Rt△CMP中由题目条件通过解直角三角形就可以求出MP的值．
（2）分E在AC上和在BC上时两种情况进行考虑，先利用三角形相似求出EP的值，再通过解直角三角形求出MP的值，最后根据三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式．根据自变量的取值范围和化为顶点式就可以求出其最大值．

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，
∴AB＝
BC2+AC2＝
302+402＝50．
由面积公式可得AB•CP=BC•AC．
∴CP＝
BC•AC
AB＝
30×40
50＝24．
∵PC⊥AB，tan∠CMP=3，
∴MP＝
CP
tan∠CMP＝8．
（2）分两种情况考虑：
①当点E在线段AC上时，如图②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵∠APE=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB．
∴[EP/BC＝
AP
AC]，即 [EP/30＝
x
40]，
∴EP＝
3
4x．
∵tan∠EMP=3，
∴MP＝
EP
tan∠EMP＝
1
4x＝PN．
∴BN＝AB−AP−PN＝50−x−
1
4x＝50−
5
4x．
∴y＝
1
2BN•EP＝
1
2(50−
5
4x)•
3
4x＝−
15
32x2+
75
4x．
当点E与点C重合时，AP＝
402−242＝32．
∴自变量x的取值范围是：0＜x＜32．
②当点E在线段BC上时，如图③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵∠BPE=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA．
∴
EP
AC＝

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，三角形的面积，锐角三角形函数的定义的运用．