19． (本小题满分12分)如图，直四棱柱 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的高为3，底面是边长为4且∠

60°，



解法一：
(1) 过O作OF⊥BC于F，连接O ₁ F，
∵ OO ₁ ⊥面 AC ，∴ BC ⊥ O ₁ F，
∴∠O ₁ F O是二面角O ₁ －BC－D的平面角，········ 3分
∵ OB = 2，∠ OBF = 60°，∴ OF = ．
在Rt△ O ₁ OF 中，tan∠ O ₁ FO =
∴∠ O ₁ FO ="60°" 即二面角 O ₁ — BC — D 的大小为60°············· 6分
(2) 在△ O ₁ AC 中， OE 是△ O ₁ AC 的中位线，∴ OE ∥ O ₁ C
∴ OE ∥ O ₁ BC ，∵ BC ⊥面 O ₁ OF ，∴面 O ₁ BC ⊥面 O ₁ OF ，交线 O ₁ F ．
过 O 作 OH ⊥ O ₁ F 于 H ，则 OH 是点 O 到面 O ₁ BC 的距离，··········· 10分
∴ OH = ∴点 E 到面 O ₁ BC 的距离等于 ················ 12分
解法二：
(1) ∵ OO ₁ ⊥平面 AC ，
∴ OO ₁ ⊥ OA ， OO ₁ ⊥ OB ，又 OA ⊥ OB ，········· 2分
建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面 ABCD 是边长为4，∠ DAB = 60°的菱形，
∴ OA = 2 ， OB = 2，
则 A （2 ，0，0）， B （0，2，0）， C （－2 ，0，0）， O ₁ （0，0，3）··· 3分
设平面 O ₁ BC 的法向量为 =（ x ， y ， z ），则 ⊥ ， ⊥ ，
∴ ，则 z = 2，则 x =－ ， y = 3，
∴ =（－ ，3，2），而平面 AC 的法向量 =（0，0，3）········ 5分
∴ cos< ， >= ，
设 O ₁ － BC － D 的平面角为α， ∴cosα= ∴α=60°．
故二面角 O ₁ － BC － D 为60°．······················ 6分
(2) 设点 E 到平面 O ₁ BC 的距离为 d ，
∵E是O ₁ A的中点，∴ =（－ ，0， ），············· 9分
则d=
∴点 E 到面 O ₁ BC 的距离等于 ．···················· 12分