已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），且a1=1，a3=4．

解题思路：（1）由Sn+1=2λSn+1知S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，由此可求出λ=1．（2）由题意可知Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，由此可知an=2n-1．（3）由题意知Tn=1•20+2•21+3•22++（n-1）•2n-2+n•2n-1，再写一式，相减由此可知Tn的值，再进行大小比较．

（1）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（Sn+1），∴数列{S_n+1+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n+1=2•2^n-1，∴Sn=2ⁿ-1，∴a_n=2^n-1．
（3）T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①2T_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②化简得T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．∴
Tn
2=n•2^n-1-2^n-1+1，∴
Tn
2-Sn =(n-3)×2n-1+
3
2
从而有n=1或2时，
Tn
2＜Sn，n≥3时，
Tn
2＞Sn

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．