详讲第三问 导数已知函数f（x）=ex-e-x-2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（

（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=ex+e-x-2≥2
ex•e−x
−2＝0,
即f'（x）≥0,当且仅当ex=e-x即x=0时,f'（x）=0,
∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x,
则g'（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2）]
=2[（ex+e-x）2-2b（ex+e-x）+（4b-4）]
=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）．
①∵ex+e-x≥2,ex+e-x+2≥4,
∴当2b≤4,即b≤2时,g'（x）≥0,当且仅当x=0时取等号,
从而g（x）在R上为增函数,而g（0）=0,
∴x＞0时,g（x）＞0,符合题意．
②当b＞2时,若x满足2＜ex+e-x＜2b-2即0＜x＜ln(b−1+
b2−2b
)时,g'（x）＜0,
又由g（0）=0知,当0＜x≤ln(b−1+
b2−2b
)时,g（x）＜0,不符合题意．
综合①、②知,b≤2,得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜
2
＜1.4143,根据（Ⅱ）中g（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x,
为了凑配ln2,并利用
2
的近似值,故将ln
2
即
1
2
ln2代入g（x）的解析式中,
得g(ln
2
)＝
3
2
−2
2
b+2(2b−1)ln2．
当b=2时,由g（x）＞0,得g(ln
2
)＝
3
2
−4
2
+6ln2＞0,
从而ln2＞
8
2
−3
12
＞
8×1.4142−3
12
＝0.6928；
令ln(b−1+
b2−2b
)＝ln
2
,得b＝
3
2
4
+1＞2,当0＜x≤ln(b−1+
b2−2b
)时,
由g（x）＜0,得g(ln
2
)＝−
3
2
−2
2
+(3
2
+2)ln2＜0,得ln2＜
18+
2
28
＜
18+1.4143
28
＜0.6934．
所以ln2的近似值为0.693．

（1）奇函数