.有一之小虫自正四面体A-BCD定点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B,C,D,然后又从B,C,D,中的一个顶
.有一之小虫自正四面体A-BCD定点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B,C,D,然后又从B,C,D,中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点,依次进行下去,记Pn为第n次爬到顶点A的概率.
（1）求Pn的通项公式
（2）求2006次爬到顶点A的概率.
⑴由于第n次到顶点A是从B、C、D三个顶点爬行而来,从其中任何一个顶点达到A的概率都是 ,而第n－1次在顶点A与小虫在顶点B、C、D是对立事件.
因此,Pn=1/3(1-Pn-1) ,∴ Pn-1/4=-1/3(Pn-1--1/4)
∴ Pn=3/4(-1/3)^n-1+1/4(n>=3)
⑵ P 2006= 3/4(-1/3)^2005+1/4
请问这里的Pn=1/3(1-Pn-1) ,∴ Pn-1/4=-1/3(Pn-1-1/4)
∴ Pn=3/4(-1/3)^n-1+1/4(n>=3)
这个是为什么?特别是用1/4去凑等比数列,前后两个式子似乎不等啊!
（1）求Pn的通项公式
（2）求2006次爬到顶点A的概率.
⑴由于第n次到顶点A是从B、C、D三个顶点爬行而来,从其中任何一个顶点达到A的概率都是 ,而第n－1次在顶点A与小虫在顶点B、C、D是对立事件.
因此,Pn=1/3(1-Pn-1) ,∴ Pn-1/4=-1/3(Pn-1--1/4)
∴ Pn=3/4(-1/3)^n-1+1/4(n>=3)
⑵ P 2006= 3/4(-1/3)^2005+1/4
请问这里的Pn=1/3(1-Pn-1) ,∴ Pn-1/4=-1/3(Pn-1-1/4)
∴ Pn=3/4(-1/3)^n-1+1/4(n>=3)
这个是为什么?特别是用1/4去凑等比数列,前后两个式子似乎不等啊!
赞 Libraunjust 幼苗
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我觉得第n次爬到A这个题法不太好,有歧义,按这道题给出的解法,应该是小虫爬过的第n个顶点是A
这是个递归解法,
小虫爬过的第n个顶点是A,那么小虫爬过的第n-1个顶点肯定不是A,这个的表示应该是1-P[n-1]【P[n-1]表示小虫爬过的第n-1个顶点是A】
小虫从任意不是A的顶点爬到A的概率是1/3(三个点等可能),所以有P[n]=(1/3)(1-P[n-1])
现在的这个数列公式是推不出通项公式的,所以构造等比数列,应该是 P[n]-a=(-1/3)(P[n-1]-a)的形式,整理一下,有(4/3)a=1/3,所以a=1/4
所以 P[n]-1/4=(-1/3)(P[n-1]-1/4),这样P[n]-1/4构成了一个以-1/3为公比的等比数列
由于小虫是由A出发的,所以P[1]=1
所以 P[n]-1/4=[(-1/3)^(n-1)](1-1/4)
故P[n]=1/4 + [(-1/3)^(n-1)]*(3/4)
这是个递归解法,
小虫爬过的第n个顶点是A,那么小虫爬过的第n-1个顶点肯定不是A,这个的表示应该是1-P[n-1]【P[n-1]表示小虫爬过的第n-1个顶点是A】
小虫从任意不是A的顶点爬到A的概率是1/3(三个点等可能),所以有P[n]=(1/3)(1-P[n-1])
现在的这个数列公式是推不出通项公式的,所以构造等比数列,应该是 P[n]-a=(-1/3)(P[n-1]-a)的形式,整理一下,有(4/3)a=1/3,所以a=1/4
所以 P[n]-1/4=(-1/3)(P[n-1]-1/4),这样P[n]-1/4构成了一个以-1/3为公比的等比数列
由于小虫是由A出发的,所以P[1]=1
所以 P[n]-1/4=[(-1/3)^(n-1)](1-1/4)
故P[n]=1/4 + [(-1/3)^(n-1)]*(3/4)
1年前
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