在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①抛物线的解析式为y=﹣ x ² + x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P ₁ （﹣1，1），P ₂ （﹣2，﹣1）两点．


试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP ₁ 垂直于AB，且AP ₁ =AB，过P ₁ 作P ₁ M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP ₁ ，利用AAS可证明三角形AP ₁ M与三角形ACD全等，得出AP ₁ 与P ₁ M的长，再由P ₁ 为第二象限的点，得出此时P ₁ 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP ₂ 垂直于BA，且BP ₂ =BA，过P ₂ 作P ₂ N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP ₂ N与三角形AOB全等，得出P ₂ N与BN的长，由P ₂ 为第三象限的点，写出P ₂ 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP ₃ 垂直于BA，且BP ₃ =BA，如图所示，过P ₃ 作P ₃ H垂直于y轴，同理可证明三角形P ₃ BH全等于三角形AOB，可得出P ₃ H与BH的长，由P ₃ 为第四象限的点，写出P ₃ 的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①∵抛物线y=﹣ x ² +ax+2经过点C，且C（3，﹣1），
∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣ +3a+2，解得：a= ，
则抛物线的解析式为y=﹣ x ² + x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P ₁ 使得P ₁ A=CA，得到等腰直角三角形ABP ₁ ，过点P ₁ 作P ₁ M⊥x轴，如图所示，

∵AP ₁ =CA，∠MAP ₁ =∠CAD，∠P ₁ MA=∠CDA=90°，
∴△AMP ₁ ≌△ADC，
∴AM=AD=2，P ₁ M=CD=1，
∴P ₁ （﹣1，1），经检验点P ₁ 在抛物线y=﹣ x ² + x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP ₂ ⊥BA，且使得BP ₂ =AB，
得到等腰直角三角形ABP ₂ ，过点P ₂ 作P ₂ N⊥y轴，如图，

同理可证△BP ₂ N≌△ABO，
∴NP ₂ =OB=2，BN=OA=1，
∴P ₂ （﹣2，﹣1），经检验P ₂ （﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣ x ² + x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP ₃ ⊥BA，且使得BP ₃ =AB，
得到等腰直角三角形ABP ₃ ，过点P ₃ 作P ₃ H⊥y轴，如图，

同理可证△BP ₃ H≌△BAO，
∴HP ₃ =OB=2，BH=OA=1，
∴P ₃ （2，﹣3），经检验P ₃ （2，﹣3）不在抛物线y=﹣ x ² + x+2上；
则符合条件的点有P ₁ （﹣1，1），P ₂ （﹣2，﹣1）两点．