（2013•高淳县一模）如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．

解题思路：（1）①由点O等边△ABC的外心，连接OB、OC，根据三角形外心的性质与圆周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且点O在△ABC内，即可证得点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
②由圆周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且点O′是△ABC的内一点，即可证得弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
（2）作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，则∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（3）分别从锐角三角形、直角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．

（1）①∵点O等边△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠A，
又∵点O在△ABC内，
∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点．…（2分）

②设O′弧BOC上任意一点，
则∠BO′C=∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BO′C=2∠A，
又∵点O′是△ABC的内一点，
∴点O′是△ABC内∠A的二倍角点．…（4分）

（2）如右图，作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，
则点M为所求作的点．…（6分）

（3）ⅰ）当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点；…（8分）
ⅱ）当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点．…（10分）

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 此题考查了三角形外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．