如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB.

（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
（2）∵PC=AC∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB
∴BC=OC
∴BC=AB
(3)连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MC·MN
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4∴BM=
∴MC·MN=BM2=8