已知函数f（x）=ax3-3x2+1-3a，（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）上

（1）由a≠0，f′(x)＝3ax2?6x＝3ax(x?
2
a)
令f'（x）=0得x1＝0，x2＝
2
a．
（i）当a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
若x∈(0，
2
a)，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间(0，
2
a)上是减函数；
若x∈(
2
a，+∞)，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间(
2
a，+∞)上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若x∈(?∞，
2
a)，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间(?∞，
2
a)上是减函数；
若x∈(
2
a，0)，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间(
2
a，0)上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）由（1）中（i）的讨论及题设知，
曲线y=f（x）上的两点A，B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f（x）在x＝0，x＝
2
a处分别是取得极大值和极小值
f(0)＝1?
3
a，f(
2
a)＝?
4
a2?
3
a+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以

f(0)≥0
f(
2
a)≤0并且两等号不能同时成立
即