一些数学题 较难1、证明:三个连续自然数的平方和不能是某个自然数的平方.2、若在1,2,…,2009的每个数前面任意添上
一些数学题 较难
1、证明:三个连续自然数的平方和不能是某个自然数的平方.
2、若在1,2,…,2009的每个数前面任意添上一个正号或负号,则它们的代数和是奇数还是偶数?
3、若a1,a2,…,a2009是自然数1,2,…,2009的一个全排列,证明:(a1-1)(a2-2)…(a2009-2009)是一个偶数.
4、有n个数x1,x2,…,xn,他们中的每一个数或者是1,或者是-1,如果x1x2+x2x3+…+x(n-1)xn+xnx1=0,求证:n是4的倍数.
5、已知n个整数x1,x2,…,xn的和为0,积为n,求证:n是4的倍数.
6、设a,b是自然数,且有关系式123456789=(11111+a)(11111-b),求证4|(a-b).
7、能肉将1,1,2,2,3,3…,2006,2006这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,两个2006之间夹着2006个数?说明理由.
8、将正方形ABCD分割为n^2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.
9、少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个证书只能完成求差后再求绝对值,其运算过程是:输入的第一个整数x1,只能显示不运算,接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果求差取绝对值的运算.现小明将1到1991这一千九百九是一个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P,试求出P的最大值,并说明理由.