已知,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB、OA所在直线为X轴和Y轴,建立平面直角坐标系.点F为BC上的动点
已知,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB、OA所在直线为X轴和Y轴,建立平面直角坐标系.点F为BC上的动点.
（不与B、C重合）,过点F的反比例函数Y=-K/X(K>0)的在第二象限内的图象与AC边交与点E.
（1）三角形AOE与三角形BOF的面积有何关系?说明理由
（2）记S=S三角形OEF-S三角形ECF,求S与K的函数关系式,并求出使S取最大值时的K值（写过程）
（不与B、C重合）,过点F的反比例函数Y=-K/X(K>0)的在第二象限内的图象与AC边交与点E.
（1）三角形AOE与三角形BOF的面积有何关系?说明理由
（2）记S=S三角形OEF-S三角形ECF,求S与K的函数关系式,并求出使S取最大值时的K值（写过程）
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（1）证明：设E（x1,y1）,F(x2,y2),△AOE和△FOB的面积为S1、S2
由题意得y1=k/x1,y2=k/x2
∴ S1=x1y1/2=k/2,S2=x2y2/2=k/2
∴S1＝S2 ,即△AOE和△FOB的面积相等
（2）由题意知E、F两点坐标分别为E（k/3,3）、F（4,k/4）
S△ECF＝1/2*EC*CF＝1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S△EDF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△ECF＝12－k/2－k/2－S△ECF
S＝S△OEF－S△ECF＝12－k－2 S△ECF＝12－k－2×1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S＝-k2/12+k
当k＝ 6,S最大为3
（3）设存在这样的点F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,过点E作EN⊥OB,垂足为N
由题意得EN＝AO＝3,EM＝EC＝4－k/3 ,MF＝CF＝3－k/4
∵∠FMN+∠FMB＝∠FMB＋∠MFB＝90°
∴∠EMN＝∠MFB
∵∠ENM＝∠MBF＝90°
∴△ENM△MBF
∴EN/MB=EM/MF
∴ 3/MB=（4－k/3）/(3-k/4)=4*(1-k/12)/3*(1-k/12)
∴MB＝9/4
∵MB2+BF2＝MF2 ∴ （9/4）2+（k/4）2＝（3－k/4）2
解得 k＝21/8
∴BF＝k/4＝21/32
存在符合条件的点F,它的坐标为（4,21/32 ）
由题意得y1=k/x1,y2=k/x2
∴ S1=x1y1/2=k/2,S2=x2y2/2=k/2
∴S1＝S2 ,即△AOE和△FOB的面积相等
（2）由题意知E、F两点坐标分别为E（k/3,3）、F（4,k/4）
S△ECF＝1/2*EC*CF＝1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S△EDF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△ECF＝12－k/2－k/2－S△ECF
S＝S△OEF－S△ECF＝12－k－2 S△ECF＝12－k－2×1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S＝-k2/12+k
当k＝ 6,S最大为3
（3）设存在这样的点F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,过点E作EN⊥OB,垂足为N
由题意得EN＝AO＝3,EM＝EC＝4－k/3 ,MF＝CF＝3－k/4
∵∠FMN+∠FMB＝∠FMB＋∠MFB＝90°
∴∠EMN＝∠MFB
∵∠ENM＝∠MBF＝90°
∴△ENM△MBF
∴EN/MB=EM/MF
∴ 3/MB=（4－k/3）/(3-k/4)=4*(1-k/12)/3*(1-k/12)
∴MB＝9/4
∵MB2+BF2＝MF2 ∴ （9/4）2+（k/4）2＝（3－k/4）2
解得 k＝21/8
∴BF＝k/4＝21/32
存在符合条件的点F,它的坐标为（4,21/32 ）
1年前
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