高数求问,自己想了几个小时也想不明白的全书61页上关于分界点求导方法3~想哭了～

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这里说如果f（x）在x.的空心领域U0（x.δ）内可导且f（x）在x.处连续.若存在极限（x->x.)limf'(x)＝A,则f'(x.)＝A从中得出分界点处的f'(x.)这里,既没有提出f'(x.)=limf'(x)（x->x.)＝A的条件,即并没有提出lf'(x)是连续的,为什么会有这个结论呢?如果本人没有理解错的话（书上这个结论它的意思是只要f(x)连续且可导,且导函数的极限存在且＝A,就可以得出f'(x.)=limf'(x)（x->x.)＝A,但实际上,如果要有f'(x.)=limf'(x)（x->x.)＝A那么不是就必须要有连续的f'(x)吗?从f(x)就连续并可导,就可以推出f'(x)连续吗?费解中）行了,己经改好了,来的都是没说过什么有用的[]