已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（

解题思路：（1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，进而利用斜率公式得x₁=1，再由当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），可得x_n的递推关系，再利用累加法求得x_n的表达式．
（2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域．
（3）法1：分情况用数学归纳法证明．
法2：分情况利用当x_n＜x≤x_n+1时有f（x）-f（x_n）=bⁿ（x-x₀）＞x-x_n（n≥1），从而f（x）-x＞f（x_n）-x_n．进而得解．

（1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b⁰=1的线段，故由
f(x1)−f(0)
x1−0＝1
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由
f(x2)−f(x1)
x2−x1＝b，即x2−x1＝
1
b得x2＝1+
1
b．
记x₀=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，故得
f(xn)−f(xn−1)
xn−xn−1＝bn−1．
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1；
所以xn−xn−1＝(
1
b)n−1，n＝1，2．
由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为[1/b]．
因b≠1，得xn＝
n

k＝1(xk−xk−1)
=1+
1
b++
1
bn−1＝
b−(
1
b)n−1
b−1，
即xn＝
b−(
1
b)n−1
b−1．
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当x_n≤x≤x_n+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（x_n≤x≤x_n+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对xn＝
b−(
1
b)n−1
b−1(n＝1，2，3，)进行讨论．
当b＞1时，
lim
n→∞xn＝
lim
n→∞

点评：
本题考点： 数列的极限．

考点点评： 本题主要考查函数与数列以及极限的综合知识，考查知识的归纳、推理和综合运用的能力，能力层次要求高，要理解掌握本题的思想方法．