在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A（n）：A1，A2，A3，…，A
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A（n）：A1，A2，A3，…，An与B（n）：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi+1⊥BiBi+1，其中i=1，2，3，…，n-1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（Ⅰ）试判断A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B（3）：B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）是否存在无正交点列B（5）的有序整数点列A（5）？并证明你的结论．
（Ⅰ）试判断A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B（3）：B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）是否存在无正交点列B（5）的有序整数点列A（5）？并证明你的结论．
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解题思路：（I）根据已知中中正交点列的定义，判断A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B（3）：B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）是否满足条件，可得结论．
（II）点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）有序整点列B1，B2，B3，B4，B5是点列A1，A2，A3，A4，A5的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．
（II）点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列B（4）；
（Ⅲ）有序整点列B1，B2，B3，B4，B5是点列A1，A2，A3，A4，A5的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．
（Ⅰ）有序整点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）互为正交点列．-------------------------（1分）
理由如下：
由题设可知
A1A2=(3，-2)，
A2A3=(2，2)，
B1B2=(2，3)，
B2B3=(3，-3)，
因为
A1A2•
B1B2=0，
A2A3•
B2B3=0
所以 A1A2⊥B1B2，A2A3⊥B2B3．
所以整点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）互为正交点列．----------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：由题意可得
A1A2=(3，1)，
点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．
考点点评： 本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．
1年前
1
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