已知函数f（x）=ax3-3x2+1-[3/a]（a≠0）

（Ⅰ）f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−
2
a)，f'（-1）=3a+6=3，得a=-1．
（Ⅱ）当a＞0时，[2/a]＞0，
由f′（x）＞0解得x＜0，或x＞[2/a]，
由f′（x）＜0解得0＜x＜[2/a]，
所以f（x）在区间（-∞，0），（[2/a]，+∞）上单调递增，在区间（0，[2/a]）上单调递减．
当a＜0时，[2/a]＜0，
由f′（x）＞0解得[2/a]＜x＜0
由f′（x）＜0解得x＜[2/a]，或x＞0．
所以f（x）在区间(
2
a，0)上单调递增，在区间(−∞，
2
a)，（0，+∞）上单调递减．
（Ⅲ）∵点M（2，m）（m≠-6）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀）．则y₀=x₀³-3x₀²-2．
∵f'（x₀）=3x₀²-6x₀，∴切线的斜率为3x₀²-6x₀．
则3x₀²-6x₀=
x03−3x02−2−m
x0−2，即2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0．
因为过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x³-9x²+12x+2+m有三个不同的零点．
则g'（x）=6x²-18x+12=6（x²-3x+2）=6（x-2）（x-1）．
令g'（x）=0，解得 x=1或x=2．

x（-∞，1）1（1，2）2（2，+∞）
g'（x）+0-0+
g（x）↗极大值↘极小值↗∴

g(1)＞0
g(2)＜0即

7+m＞0
6+m＜0解得-7＜m＜-6．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的综合应用．