已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝g(x)x．

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f(|2x−1|)+k(
2
|2x−1|
−3)＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
huanzi0118 1年前 已收到1个回答 举报
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-少年游- 春芽

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解题思路：（Ⅰ）由g（x）=a（x-1）2+1+b-a（a＞0）在[2，3]上为增函数，可得
g(3)＝4
g(2)＝1
，从而可求得a、b的值；
（Ⅱ）f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立⇒k≤1+[1x2-
2/x]=(
1
x
−1)2（x＞0）恒成立，从而可求得实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f（|2x-1|）+k（
2
|2x−1|
-3）=0⇒|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，（|2x-1|≠0），令|2x-1|=t，则t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数φ（t）=t2-（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．

（Ⅰ）g（x）=a（x-1）2+1+b-a（a＞0），
当a＞0时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
故

g(3)＝4
g(2)＝1，即

9a−6a+1+b＝4
4a−4a+1+b＝1，解得

a＝1
b＝0------（5分）
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化为：x+[1/x]-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+[1
x2-
2/x]≥k，
∵1+[1
x2-
2/x]=(
1
x−1)2≥0（当x=1时取等号）
∴k≤0．----（10分）
（Ⅲ）方程f（|2x-1|）+k（

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．

1年前

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