分式方程[ax/x−2+1x+x+ax(x−2)]=0有且仅有一个实根，求a的值．

解题思路：先去分母，将方程两边同乘以x（x-2），整理得ax²+2x+（a-2）=0．由于原分式方程有且仅有一个实根，那么分两种情况讨论：（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程．此时，又分两种情况．①如果△＞0，当有一根是0或2，另外一根使x（x-2）≠0；②如果△=0，此时一元二次方程有两相等的实数根，此二等根使x（x-2）≠0．（2）当a=0时，原方程为一元一次方程，此一元一次方程的根使x（x-2）≠0．针对每一种情况，分别求出a的值即可．

方程两边同乘以x（x-2），
得ax²+x-2+x+a=0，
整理得ax²+2x+（a-2）=0．
分如下两种情况：
（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程．
①如果△＞0，当有一根是0或2，另外一根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
当x=0时，原方程为a×0²+2×0+a-2=0，解得a=2，
解方程2x²+2x=0，得x₁=0，x₂=-1；
当x=2时，原方程为a×2²+2×2+a-2=0，解得a=-[2/5]，
解方程-[2/5]x²+2x-[2/5]-2=0，得x₁=2，x₂=3．
∴a=2或-[2/5]．
②如果△=0，此时一元二次方程有两相等的实数根，当此二等根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
由4-4a（a-2）=0，解得a=1±
2．
当a=1±
2时，原方程的根为x=1-
2或1+
2．
∴a=1±
2．
（2）当a=0时，原方程为一元一次方程．
解方程2x-2=0，得x=1．
当x=1时，x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
综上所述，a=2或-[2/5]或1±
2或0．

点评：
本题考点： 解分式方程．

考点点评： 本题考查了分式方程的解法及增根问题．由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母系数的方程，所以要分情况进行讨论．理解分式方程产生增根的原因从而正确分类是解题的关键．本题难度较大，属于竞赛题型．