求和：1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+.

设f(x)=x-x^4/4+x^7/7-x^10/10+.
f′(x)=1-x^3+x^6-x^9+.
=1/(1+x^3).
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)].
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/6].
方法应该是这样,但最后结果我觉得有点问题,请仔细检查一下,我也要再想一想,现在要下线了.
找到毛病了,改正在下面.
f(x)=∫[0,x]1/(1+x^3)dx
=(1/3)[ln(x+1)-(ln(x^2-x+1))/2+√3arctan((2x-1)/√3)]+(1/3)*(√3)π/6.
令x=1,
1-1/4+1/7-1/10+...=(1/3)[ln2+(√3)π/3].

ppandbb:
原式=1+1/3[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……] ??
1+1/3[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……] =1+1/4+1/28+1/70+……
别误人子弟
每两项组合,可产生一个通项式:3/[(6n-5)(6n-2)]
原式=3/4+3/70+3/208+……

原式=1+1/3[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……]
=1+1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7……]
=1+1/3[1-1/(3n+1)]
=1+1/3
=4/3

原式=1+1/3[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……]
=1+1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7……]
=1+1/3[1-1/(3n+1)]
=1+1/3
=4/3
...
不好意思，没有仔细看题就做了
我只知道用莱布尼兹判敛法能够判断该交错级数收敛而已